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Yoda en acción
Topic Started: May 6 2008, 10:28 AM (428 Views)
Berserkergang
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Cumbancha Volante - "¿Modelo?"
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Decime algo que no sepa :baba:
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Alchemist
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The Vicodin bring me a last chance
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Berserker Dwarf
May 7 2008, 03:36 PM
Decime algo que no sepa :baba:

La ley de Scoto o ex falso quodlibet, esto es ØA®(A®B) fue considerada desde siempre una paradoja para la Lógica Clásica al menos en el débil sentido de “resultado chocante”; así que uno no puede menos de preguntarse cómo en un sistema intuicionista llega a tener la dignidad de un axioma. En la formalización que presenta Arend Heyting

para la lógica intuicionista esta expresión corresponde al axioma X. Ciertamente, el mismo Heyting se siente obligado a dar una especie de justificación del mismo-y, como anota Susan Haack en [1979], p.109, es significativo que considerara que sólo este axioma requiriese justificación-, ofreciéndola en [1956], p.102, como sigue:



Axiom X may not seem intuitively clear. As a matter of fact, it adds to the precision of the definition of implication. You remember that A®B can be asserted if and only if we possess a construction which , joined to the construction A , would prove B. Now suppose that ½¾ ØA , that is, we have deduced a contradiction from the supposition that A were carried out. Then, in a sense, this can be considered as a construction, which, joined to a proof of A (which cannot exist) leads to a proof of B. I shall interpret the implication in this wider sense.





Haack comenta en este punto que este “wider sense” es tan liberal que no parece típicamente intuicionista. Por otra parte es sabido que , como Haack y el propio Heyting afirman, si se rechaza el axioma X lo que se tiene es el sistema de Johansson o “cálculo minimal”. Por otra parte, proponiendo un sistema similar a éste el matemático ruso Kolmogorov había comentado que es mencionado axioma “no tiene y no puede tener una base intuitiva”. Habiendo ya considerado “curiosa” la explicación de Heyting la observación de Haack[1979 ] al respecto es la siguiente:



En vista de que la “justificación” de Heyting es inadecuada, este comentario [el de Kolmogorov] es, según creo, válido. El cálculo minimal representa el conjunto de fórmulas válidas intuicionistamente mejor que el cálculo de Heyting.



El propósito de este artículo es mostrar por un lado que (i) es posible derivar en el cálculo minimal una fórmula que admite una interpretación próxima a lo que se establece en la paradojal ley de Scoto y por otro lado que (ii) es posible interpretar este resultado como una elucidación o, al menos, como una aproximación intuitiva a la intención significativa del enunciado de la justificación de Heyting , que de por sí es bastante oscuro.

Me serviré para eso de una adaptación del sistema de Kleene [1952] para la formalización de la aritmética a los efectos de presentar un equivalente del cálculo minimal. Lo único que es necesario hacer para eso es, como se sabe, presentar el sistema de Kleene sin el axioma 7. De modo que el sistema resultante contendría los siguientes:





Axiomas para los cálculos proposicional y predicativo.



1.A®(B®A)

2.(A®(B®C))®((A®B)®(A®C))

3.A®((B®(AÙB))

4.(AÙB)®A

5.(AÙB)®B

6.A®(AÚB)

7.B®(A ÚB)

8.(A®C)®((B®C)®((AÚB)®C))

9.(A®B)®((A®ØB)®ØA))



Axiomas adicionales para el cálculo predicativo



10.At®$xA(x)

11."xA(x)®A(t)





Axiomas adicionales para la formalización de la aritmética.



12. A(0)Ù"x(A(x)®A(x¢))®"xA(x)

13. a¢=b¢®a=b

14. Ø a¢=0

15. a=b®(a=g®b=g)

16. a=b®(a¢=b¢)

17. a+0=a

18. a+b¢=(a+b)¢

19. a.0=0

20. a.b¢=(a.b)+a



Reglas de derivación.



21.A®B,A½B

22.C®A(x)½C®"xA(x)

23.A(x)®C½$´A(x)®C















Tanto en los axiomas como en las reglas, como es usual, A, B y C son fórmulas, x es una variable, A(x) es una fórmula, C es una fórmula que no contiene libre x y a ,b ,g y t

son términos estando este último libre con respecto a x en A(x). Como siempre, las variables son términos y para cualquier término a,a¢ se interpreta como sucesor de a.





Ésta sería entonces nuestra versión del cálculo minimal de Johansson. Ahora bien, sabemos que uno de los rasgos principales por los cuales los intuicionistas mismos distinguen su negación de la negación clásica es que la primera funciona como una especie de predicado de absurdo esto es, informalmente, Ø se lee no como “es falso que...” sino como “es absurdo que...” . Siendo esto así los propios intuicionistas admiten como adecuada la lectura de su negación del modo que sigue:



ØA es equivalente a A®1=0.



Ahora bien, si esta interpretación es oficialmente intuicionista , entonces podemos probar en el cálculo minimal una serie de fórmulas cuya interpretación permite ver fácilmente que son parientes muy próximos de la ley de Scoto, constituyendo esto tal vez un resultado indeseado para todo aquel que creyese que la restricción de Johansson era suficiente para evitar paradojas. La fórmula en cuestión es ØA®(A®"x"y(x=y)) si queremos conservar el parentesco con el axioma X de Heyting o también y más intuitivamente (ØAÙA)®"x"y(x=y). Es decir, si el escándalo que provoca la ley de Scoto es que de acuerdo a ella de una contradicción se sigue cualquier cosa resulta que aún con la restricción de Johansson podríamos probar que de una contradicción se sigue la igualdad entre dos términos cualesquiera lo cual ,si bien no es exactamente lo mismo, se acerca demasiado para aquel a quien no le gusten las paradojas.



Creemos que el resultado se sigue de un modo obvio y asumiremos también que lo mismo ocurre con las referencias del análisis de nuestra deducción. Para examinarla en detalle véase Kleene [1952]. La primera parte de la prueba es por demás obvia ya que si la negación intuicionista de A es lo mismo que establecer que A®1=0, entonces, de la contradicción AÙØA se sigue 1=0 por la regla número 21(el “modus ponens”). Concedido esto lo único que falta establecer es 1=0®"x"y(x=y). Pero obsérvese ahora que la cosa empieza a tomar otro color, porque resulta bastante intuitivo que si uno es igual a cero entonces puede establecerse cualquier igualdad. Este elemento intuitivo será importante en lo que consideramos nuestro resultado hermenéutico contra Kolmogorov.

Lo que resta entonces es determinar si esto puede terminar de probarse en el formalismo de Johannson.



La prueba procede por inducción completa (axioma 12), del modo siguiente: primero se obtiene el resultado (¿inesperado?) 1=0®"x (x=0) y sobre esa base se pasa a construir la prueba de nuestra expresión final. De modo que se trata , entonces , de establecer el siguiente:



LEMA: 1=0®"x(x=0).



Para ello partimos de la siguiente:





Base: 1=0®0=0



Ahora bien, la prueba de la base es obvia y procede del modo siguiente:





(1) 0=0®(1=0®0=0) , axioma 1.

(2) 0=0,Ejemplo 1 de Kleene,más "-elim.

(3) 1=0®0=0,regla 21,(1),(2), como queríamos.





Paso: Supóngase 1=0®x=0(hipótesis de inducción). Entonces se tendrá 1=0®x¢=0



Prueba [1]



(1) 1=0®x=0, hipótesis de inducción

· (2) 1=0,supuesto.

· (3) x=0, Regla 21,(1),(2)

· (4) x+0=x, axioma

· (5) x+0¢=( x+0)¢,axioma

· (6) x+0=x, axioma

· (7) x+0¢=x¢,reemplazo de idénticos (5),(6)

· (8) 1=0¢,definición

· (9) 0¢=0,reemplazo de idénticos(1),(8)

· (10)x+0=x¢,reemplazo de idénticos (7),(9)

· (11)x=x¢,reemplazo de idénticos (6),(10)

(12) 1=0®x=x¢,teorema de la deducción (2)-(11).·

(13) 1=0®x¢=0,reemplazo de idénticos (1),(12),como queríamos.

(14) (1=0®x=0)®(1=0®x¢=0),teorema de la deducción (1),(13)



Tenemos, entonces:



(I) 1=0®0=0, base.

(II) (1=0®x=0)®(1=0®x¢=0),paso de inducción.

(III) 1=0®"x(x=0), axioma 12 (de inducción completa),Ù-introd.,regla 21,como queríamos.



Y ahora , obtenido en (III) nuestro lema, éste se convierte en la base de una segunda prueba por inducción completa (ahora sobre y).





Base: 1=0®"x(x=0), el lema obtenido.





Paso: Supóngase: 1=0®"x(x=y). Entonces se tendrá: 1=0®"x(x=y¢)



Prueba



(1) 1=0®"x(x=y),hipótesis de inducción.

· (2) 1=0,supuesto.

· (3)"x(x=y),regla 12, (1),(2)

· (4) x=y,"-elim [2] .,(3).

· (5) y+0=y,axioma

· (6) y+1=y+0¢=y¢

· (7) y+0=y¢, reemplazo de idénticos,(1),(6)

· (8) y=y¢,axioma 17,(7),reemplazo de idénticos.

· (9) x=y¢,reemplazo de idénticos,(4),(8)

(10) 1=0®x=y¢,teorema de la deducción (1)-(9)·

(11) 1=0®"x(x=y¢),regla 22.

(12)( 1=0®"x(x=y))®(1=0®"x(x=y¢)),teorema de la deducción, (1)-(11), x no ha sido variada para ninguna fórmula supuesta(véase Kleene (1974 ),pp 94-95).



Y ahora disponemos de:

(I) 1=0®"x(x=0),base

(II) (1=0®"x(x=y)®(1=0®"x(x=y¢)),paso.

(III) 1=0®"y"x(x=y),axioma de Inducción Completa,Ù-introd.,regla 12,(I),(II)

(IV) 1=0®"x"y(x=y),por intercambio de cuantificadores, como queríamos.





Con lo expuesto creemos que se cumple nuestro primer objetivo,consignado en (i). Hasta ahora (creemos) venimos sobre terreno bastante sólido. Lo que sigue es conjetural pero ( creemos también) de gran plausibilidad. Es de esperar que en el cálculo minimal sea demostrable alguna versión del obvio recíproco de la ley de Leibniz,esto es que

½¾ x=y®(A(x)«A(y)) .Supóngase ahora una contradicción cualquiera. Ella daría lugar, de acuerdo a lo visto anteriormente, a x=y para cualesquiera x e y. Ahora bien, supóngase además que hemos costruido una prueba válida bajo cánones intuicionista-minimales de que un número goza de cierta propiedad P. Como bajo las condiciones del absurdo todo número es igual a éste deberá resultar que todo número deberá poseer P. De manera que podemos concluir que en el sistema de Johannson deberá valer lo siguiente:( AÙØA)®"(x) (R(x)«"(x)R(x)), esto es, bajo contradicción

un número tendrá una propiedad sólo si todos la tienen (el recíproco es obvio).Como es de esperarse también que al menos un número tenga al menos una propiedad constructivamente demostrable el resultado sería que en caso de contradicción todo número tendría toda propiedad constructivamente demostrable para algún número, más un infinito de propiedades presumiblemente no constructivamente demostrables [3] esto es, a saber, conjunciones inconsistentes de propiedades,por ejemplo. Siendo esto así la restricción minimalista no provee de un sentido de construcción mucho menos liberal que el discutido(por Haack)de Heyting.

Sugeríamos más arriba, contra la apreciación de Kolmogorov, que este resultado que podríamos denominar como “= - sobrecompletud” ( y a los sistemas en esta situación como “idénticamente sobrecompletos”) tenía cierta apoyatura intuitiva. Tal vez resulte claro a partir de la prueba formal, pero como no podemos estar seguros de ello y como esto tiene importancia para la elucidación de la justificación de Heyting, seremos más explícitos. Informal e intuitivamente,si 1=0,entonces 1+0=1+1,con lo que 1=2, pero entonces también 2=0,etc.Esto es,parece que el origen de este fenómeno tiene su base más allá de las propiedades de los conectores lógicos-visto desde allí siempre resultará contraintuitivo-; se encuentra en las propiedades intuitivas de la sucesión,de la identidad y de la suma. Y obsérvese que la verdad de este aserto resultaría grata a inclinaciones intuicionistas.

Esta impresión podría explicar la decisión de Heyting de preservarlo en su formalismo como un principio genuinamente intuicionista aunque pueda “no parecer intuitivamente claro” [4]

Consideremos ahora en pleno la anotación de Haack[1979 ]sobre el punto:



Aunque Heyting representa el axioma X como añadiendo simplemente una extensión del sentido de “implica”, lo que significa verdaderamente este añadido es que sea exten dido el sentido de construcción de modo que una construcción de A más una derivación de una contradicción de la suposición de que hay tal construcción, debe contar cono construcción de B. Pero el sentido extendido de “construcción” es tan liberal que no parece típicamente intuicionista...El cálculo minimal representa elconjunto de fórmulas válidas intuicionistamente mejor que el cálculo de Heyting.



Sin embargo, de acuerdo a lo que hemos probado, lo que hemos llamado = - sobrecom-

pletud puede expresarse de la siguiente forma: si A es una fórmula cualquiera y B es una fórmula de identidad , entonces, para el cálculo de Johansson ½¾ ØA®(A®B).

Obvio es decirlo pero esto surge meramente a partir de dos aplicaciones de "- eliminación a partir de la suposición de contradicción, de acuerdo al resultado anterior.

De modo que si hacemos esta especificación tanto en el texto de Heyting como en la glo

sa de Haack resulta que lo dicho vale tanto para el cálculo de Heyting como para el de Johansson, con lo que la restricción de este último no proveería de un sentido de “construcción” mucho menos liberal,si eso es lo que se busca..

Y ahora podemos ver como nuestro resultado, si bien matemáticamente trivial, tiene cierta importancia filosófica por cuanto contribuye a elucidar el texto de Heyting.

Digamos: si A es absurdo (en símbolos Ø A), entonces se deduce 1=0 de la suposición de A (por definición deØ), pero como hemos visto, de 1=0 se sigue B, ¿resulta tan extraño considerar esto como una construcción que unida a una prueba de A lleva a una prueba de B? La observación de Heyting es más fuerte que ésta puesto que en ella se sustituye B (es decir una fórmula de identidad cualquiera ) por B ( es decir, una fórmu-

la cualquiera) pero, por un lado, la distancia entre ambas se hace todavía más corta si nos atenemos a nuestras reflexiones anteriores a propósito del recíproco del principio de Leibniz y por otro lado,principalmente, ya no resulta tan contraintuitiva. Visto a la luz de lo probado el axioma de Heyting no es más que una especie de idealización de un

teorema “minimalista”.
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